Новые тональности

Основные и побочные функции новых тональностей в ПК.

В ночь с 23 на 24 сентября в дом только что отпраздновавшего свой 55-летний юбилей Иоганна Франца Энке настойчиво стучали. В дверях стоял запыхавшийся студент Генрих д’Арре. Перекинувшись с пришедшим парой фраз, Энке быстро собрался, и они вдвоем отправились в возглавляемую Энке Берлинскую обсерваторию, где возле телескопа-рефлекора их ждал не менее взволнованный Иоганн Галле.

Наблюдения, к которым таким образом присоединился юбиляр, продлились до половины третьего ночи. Так в 1846 году была открыта восьмая планета Солнечной системы – Нептун.

Но открытие, сделанное этими астрономами, поменяло чуть больше, чем наше представление об окружающем мире.

Теория и практика

Видимый размер Нептуна меньше 3 угловых секунд. Чтобы понять, что это значит, представьте, что вы смотрите на круг из его центра. Разделите окружность на 360 частей (рис. 1).

Сектор в один градус.

Рис. 1. Сектор в один градус.

 

Угол, который мы получили таким способом, составляет 1° (один градус). Теперь разделите этот тоненький сектор ещё на 60 частей (изобразить это на рисунке уже не представляется возможным). Каждая такая часть будет составлять 1 угловую минуту. И наконец, разделим на 60 и угловую минуту – у нас получится угловая секунда.

Как же астрономы нашли в небе такой микроскопический объект, размером меньше 3 угловых секунд? Дело не в мощности телескопа, а в том, как на огромной небесной сфере выбрать то направление, где искать новую планету.

Разгадка проста: наблюдателям это направление подсказали. Подсказчиком обычно называют французского математика Урбена Леверье, именно он, наблюдая аномалии в поведении Урана, предположил, что за ним есть ещё одна планета, которая, притягивая к себе Уран, заставляет его отклоняться от «правильной» траектории. Леверье не просто сделал такое предположение, но смог рассчитать, где должна находиться эта планета, написал об этом Иоганну Галле, для которого после этого область поисков кардинально сузилась.

Так Нептун стал первой планетой, которая была сначала предсказана теорией, а лишь затем найдена на практике. Такое открытие назвали «открытием на кончике пера», и оно навсегда изменило отношение к научной теории как таковой. Научная теория перестала пониматься, как просто игра ума, в лучшем случае описывающая «то, что есть»; научная теория наглядно продемонстрировала свою предсказательную способность.

Per astra ad musicorum

Вернемся к музыке. В октаве, как известно, 12 нот. Сколько трехзвучных аккордов можно из них построить? Несложно посчитать – таких аккордов будет 220.

Это, конечно, не астрономически огромное число, но и в таком количестве созвучий запутаться довольно легко.

К счастью, у нас есть научная теория гармонии, есть «карта местности» — пространство кратностей (ПК). Как строится ПК, мы рассматривали в одной из предыдущих заметок. Более того, мы увидели, как в ПК получаются привычные тональности  – мажор и минор.

Вычленим еще раз те принципы, которые лежат в основе традиционных тональностей.

Вот как выглядят мажор и минор в ПК (рис. 2 и рис. 3).

Мажор в пространстве кратностей

Рис. 2. Мажор в ПК.

 

Минор в пространстве кратностей

Рис. 3. Минор в ПК.

 

Центральным элементом таких построений является уголок: либо с лучами направленными вверх – мажорное трезвучие, либо с лучами направленными вниз – минорное трезвучие (рис. 4).

Мажорное и минорное трезвучия в ПК.

Рис. 4. Мажорное и минорное трезвучия в ПК.

 

Эти уголки образуют перекрестье, что и позволяет «централизовать» один из звуков, сделать его «главным». Так появляется тоника.

Затем такой уголок копируется симметрично, в самых гармонически близких звуках. Это копирование порождает субдоминанту и доминанту.

Тоника (T), субдоминанта (S) и доминанта (D) называются главными функциями в тональности. Ноты, входящие в эти три уголка, образуют гамму соответствующей тональности.

К слову, кроме главных функций в тональности обычно выделяют побочные аккорды. Мы можем изобразить их в ПК (рис. 5).

 Главные и побочные аккорды в мажоре.

Рис. 5. Главные и побочные аккорды в мажоре.

 

Здесь DD – это двойная доминанта, iii – функция третьей ступени, VIb – пониженная шестая и т.д. Мы видим, что они представляют собой такие же мажорные и минорные уголки, расположенные недалеко от тоники.

Тоникой может выступать любая нота, функции будут строиться от нее. Структура – взаиморасположение уголков в ПК – при этом не изменится, просто переместится в другую точку.

Что ж, мы разобрали, как гармонически устроены традиционные тональности. Найдем ли мы, глядя на них, то направление, где стоит искать «новые планеты»?

Думаю, что пару небесных тел мы обнаружим.

Посмотрим на рис. 4. Он показывает, как мы с помощью уголка трезвучия централизовали звук. В одном случае оба луча были направлены вверх, в другом – вниз.

Кажется, мы пропустили ещё два варианта, ничуть не хуже централизующих ноту. Пусть у нас один луч будет направлен вверх, а второй – вниз. Тогда мы получим вот такие уголки (рис. 6).

Уголки II и IV четвертей в ПК.

Рис. 6. Уголки II и IV четвертей в ПК.

 

Эти трезвучия централизуют ноту, но довольно непривычным способом. Если построить их от ноты до, то на нотном стане они будут выглядеть так (рис. 7).

Уголки II и IV четвертей от ноты до на нотоносце.

Рис. 7. Уголки II и IV четвертей от ноты до на нотоносце.

 

Все дальнейшие принципы построения тональности мы сохраним в неизменности: добавим два аналогичных уголка симметрично в ближайших нотах.

Получим новые тональности (рис. 8).

Тональность II четверти в ПК.

Рис. 8-а. Тональность II четверти в ПК.

 

Тональность IV четверти в ПК.

Рис. 8-б. Тональность IV четверти в ПК.

 

Запишем для наглядности их гаммы.

 

Гаммы новых тональностей.

Рис. 9-а. Гаммы новых тональностей.

 

 

Гаммы новых тональностей.

Рис. 9-б. Гаммы новых тональностей.

 

Мы изобразили ноты с диезами, но, разумеется, в некоторых случаях удобней будет переписать их с энгармоническими бемолями.

Главные функции этих тональностей показаны на рис. 8, но для полноты картины не хватает побочных аккордов. По аналогии с рис. 5 мы легко их нарисуем в ПК (рис. 10).

Основные и побочные аккорды новых тональностей в ПК.

Рис. 10-а. Основные и побочные аккорды новых тональностей в ПК.

 

Основные и побочные аккорды новых тональностей в ПК.

Рис. 10-б. Основные и побочные аккорды новых тональностей в ПК.

 

Выпишем их и на нотном стане (рис. 11).

 Функции новых тональностей.

Рис. 11-а. Функции новых тональностей.

 Функции новых тональностей.

Рис. 11-б. Функции новых тональностей.

 

Сопоставляя гамму на рис. 9 и названия функций на рис. 11, можно заметить, что привязка к ступеням здесь довольно условна, она «осталась по наследству» от традиционных тональностей. На самом же деле функция третей ступени может строиться вовсе не от третьей ноты в гамме, функция пониженной шестой – вовсе не от пониженной шестой и т.д. Что же в таком случае означают эти названия? Эти названия определяют функциональное значение того или иного трезвучия. То есть функция третьей ступени в новой тональности будет выполнять ту же роль, какую функция третьей ступени выполняла в мажоре или миноре, несмотря на то, что структурно она отличается довольно существенно: и трезвучие используется другое и располагается оно в другом месте гаммы.

Пожалуй, осталось осветить два теоретических вопроса

Первый связан с тональностью II четверти. Мы видим, что централизуя на самом деле ноту соль, ее тонический уголок строится от до (до – нижний звук в аккорде). Также от до начинается гамма этой тональности. Да и в целом тональность, которую мы изобразили, стоит называть тональностью II четверти от до. Это на первый взгляд довольно странно. Однако если мы посмотрим на рис. 3, то обнаружим, что такое же «смещение» нам уже встречалось в самом обычном миноре. В этом смысле ничего экстраординарного в тональности II четверти не происходит.

Второй вопрос: почему такое название – тональности II и IV четвертей?

В математике две оси разбивают плоскость на 4 четверти, которые обычно нумеруют против часовой стрелки (рис. 12).

Четверти в декартовой системе координат.

Рис. 12. Четверти в декартовой системе координат.

 

Мы смотрим, куда направлены лучи соответствующего уголка, и называем тональности по этой четверти. В таком случае, мажор будет являться тональностью I четверти, минор – III четверти, а две новые тональности соответственно – II и IV.

Настроим телескопы

В качестве десерта послушаем небольшой этюд, написанный композитором Иваном Сошинским в тональности IV четверти.

«Etulle» И. Сошинский

 

Являются ли четыре тональности, которые мы получили, единственно возможными? Строго говоря – нет. Строго говоря, тональные построения вообще не являются обязательными для создания музыкальных систем, мы можем использовать другие принципы, никак не связанные с централизацией или симметрией.

Но рассказ о других вариантах мы пока отложим.

Важным, как мне кажется, является другой аспект. Все теоретические построения обретают смысл, только когда переходят из теории в практику, в культуру. Как темперация закрепилась в музыке только после написания «Хорошо темперированного клавира» И.С. Баха, так и любые другие системы будут иметь значение, когда перейдут с бумаги в партитуры, концертные залы и, в конечном итоге, в музыкальный опыт слушателей.

Что ж, настроим телескопы и будем смотреть, смогут ли композиторы проявить себя в качестве первопроходцев и колонизаторов новых музыкальных миров.

Автор — Роман Олейников

Posted in Музыка и математика. Tagged with , .

Поделитесь с друзьями ссылкой на эту страницу:

2 Responses

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *