О гармонической микрохроматике

Сколько цветов в радуге?

Семь — уверенно ответят наши соотечественники.

Но экран компьютера способен воспроизводить только 3 цвета, всем известные – RGB, то есть красный, зеленый и синий. Это не мешает нам увидеть всю радугу на следующем рисунке (рис.1).

 Радуга.

Рис.1. Радуга.

В английском языке, к примеру, для двух цветов – синего и голубого – существует только одно слово blue. А у древних греков совсем не было слова для обозначения синего цвета. У японцев нет обозначения для зеленого. Многие народы «видят» в радуге всего три цвета, а некоторые даже два.

Каков же правильный ответ на этот вопрос?

Если мы посмотрим на рис.1, то убедимся, что цвета переходят друг в друга плавно, а границы между ними – это всего лишь вопрос договоренности. В радуге бесконечное число цветов, которые люди разных культур делят условными границами на несколько «общепринятых».

Сколько нот в октаве?

Человек, знакомый с музыкой поверхностно, ответит – семь. Люди с музыкальным образованием, разумеется, скажут – двенадцать.

Но правда заключается в том, что и число нот – это всего лишь вопрос языка. У народов, музыкальная культура которых ограничивается пентатоникой, число нот будет равно пяти, в классической европейской традиции их двенадцать, а, например, в индийской музыке двадцать две (в разных школах по-разному).

Высота звука или, выражаясь научно, частота колебаний – величина, изменяющаяся непрерывно. Между нотой ля, звучащей на частоте 440 Гц, и нотой си-бемоль на частоте 466 Гц находится бесконечное число звуков, каждый из которых мы можем использовать в музыкальной практике.

Как у хорошего художника на картине присутствует не 7 фиксированных цветов, а огромное множество оттенков, так и композитор смело может оперировать не только звуками из 12-нотного равномерно темперированного строя (РТС-12), а любыми другими по своему выбору.

Сборы

Что же останавливает большинство композиторов?

Во-первых, разумеется удобство исполнения и нотации. Почти все инструменты настроены в РТС-12, почти все музыканты учатся читать классическую нотацию, да и слушатели в большинстве своем привыкли к музыке, состоящей из «обычных» нот.

Возразить на это можно следующее: с одной стороны развитие компьютерной техники позволяет оперировать со звуками практически любой высоты и даже любой структуры. С другой стороны, как мы видели в статье о диссонансах, со временем слушатели становятся все более лояльны к непривычному, в музыку проникает все больше и больше сложных созвучий, которые публика понимает и принимает.

Но есть и вторая трудность на этом пути, быть может, даже более существенная.

Дело в том, что как только мы выходим за 12 нот, у нас практически теряются все ориентиры.

Какие созвучия окажутся консонантными, какие нет?

Будут ли существовать тяготения?

На чем будет строиться гармония?

Будет ли что-то похожее на тональности или лады?

Микрохроматика

Полноценные ответы на поставленные вопросы даст, разумеется, только музыкальная практика. Но кое-какие приспособления для ориентирования на местности у нас есть уже сейчас.

Во-первых, стоит как-то назвать ту область, куда мы отправляемся. Обычно все музыкальные системы, в которых используется больше 12 нот в октаве, относят к микрохроматике. Иногда к этой же области причисляют и системы, в которых число нот равно (и даже меньше) 12, но эти ноты отличаются от привычного РТС-12. Например, при использовании пифагорейского или натурального строя могут говорить о том, что в ноты вносятся микрохроматические изменения, подразумевая, что это ноты почти равные РТС-12, но совсем на немного отстоящие от них (рис.2).

Ноты разный строев на линейке звуковысотностей.

Рис.2. Ноты разный строев на линейке звуковысотностей.

На рис.2 мы видим эти небольшие изменения, например, нота h пифагорейского строя чуть выше ноты h из РТС-12, а натуральная h, наоборот, несколько ниже.

Но пифагорейский и натуральный строи предшествовали появлению РТС-12. Для них сочинялись свои произведения, разрабатывалась теория, и даже мы в предыдущих заметках вскользь касались их структуры.

Мы же хотим отправиться дальше.

Есть ли причины, заставляющие нас уходить от привычного, удобного, логичного РТС-12 в области неизвестные и странные?

Не будем останавливаться на таких прозаических причинах, как исхоженность всех дорог и тропинок в нашем привычном строе. Лучше примем тот факт, что в любом творчестве должна быть доля авантюризма, и отправимся в путь.

Компас

Важной частью музыкальной драматургии является такое понятие как консонанс. Именно чередование консонансов и диссонансов рождает в музыке тяготения, ощущение движения, развития.

Сможем ли мы определить консонанс для микрохроматических созвучий?

Вспомним формулу из статьи про консонанс:

Эта формула позволяет рассчитать консонанс любого интервала , совершенно необязательно классического.

Если мы посчитаем консонанс интервала от до до всех звуков внутри одной октавы, то получим вот такую картину (рис.3).

 Консонанс в микрохроматике.

Рис. 3. Консонанс в микрохроматике.

По горизонтали здесь отложена ширина интервала в центах (когда центы кратны 100, мы попадаем в обычную ноту из РТС-12), по вертикали – мера консонанса: чем выше точка, тем консонантней звучит такой интервал.

Такой график поможет нам ориентироваться в микрохроматических интервалах.

При необходимости можно вывести формулу и для консонанса аккордов, но выглядеть она будет гораздо сложнее. Для упрощения можно помнить, что любой аккорд состоит из интервалов, и довольно точно консонанс аккорда можно оценить, зная консонанс всех интервалов, его образующих.

Карта местности

Музыкальная гармония не исчерпывается пониманием консонанса.

К примеру, можно найти созвучие более консонантное, чем минорное трезвучие, однако, оно играет особую роль благодаря своей структуре. Мы изучали эту структуру в одной из предыдущих заметок.

Гармонические особенности музыки удобно рассматривать в пространстве кратностей, или сокращенно ПК.

Кратко вспомним, как оно строится в классическом случае.

У нас есть три простейших способа соединить два звука: умножение на 2, умножение на 3 и умножение на 5. Эти способы порождают три оси в пространстве кратностей (ПК). Каждый шаг по любой оси – это умножение на соответствующую кратность (Рис.4).

Оси в пространстве кратностей.

Рис.4. Оси в пространстве кратностей.

В этом пространстве, чем ближе ноты расположены друг к другу, тем более консонантное созвучие они будут образовывать.

Все гармонические построения: лады, тональности, аккорды, функции приобретают в ПК наглядное геометрическое представление.

Можно заметить, что в качестве кратностей мы берем простые числа: 2, 3, 5. Простое число – это математический термин, означающий, что число делится нацело только на 1 и на само себя.

Такой выбор кратностей вполне оправдан. Если мы добавим в ПК ось с «непростой» кратностью, то мы не получим новых нот. К примеру, каждый шаг по оси кратности 6, это по определению умножение на 6, но 6=2*3, следовательно, все эти ноты мы могли бы получить, перемножая 2 и 3, то есть все они у нас уже были и без этой оси. А вот, к примеру, получить 5, перемножая 2 и 3, не получится, следовательно, ноты на оси кратности 5 будут принципиально новые.

Итак, в ПК имеет смысл добавлять оси простых кратностей.

Следующее простое число после 2, 3 и 5 – это 7. Именно его стоит использовать для дальнейших гармонических построений.

Если частоту ноты до мы умножим на 7 (сделаем 1 шаг по новой оси), а затем октавно (делением на 2) перебросим получившийся звук в исходную октаву, то получим совершенно новый звук, не использующийся в классических нотных системах.

Интервал, состоящий из до и этой ноты будет звучать так:

 

Размер этого интервала равен 969 центам (цент – 1/100 полутона). Этот интервал несколько у́же малой септимы (1000 центов).

На рис.3 можно увидеть точку, соответствующую этому интервалу (ниже она выделена красным).

Мера консонанса данного интервала равна 10%. Для сравнения таким же консонансом обладает малая терция, а малая септима (и натуральная и пифагорейская) – интервал менее консонантный, чем данный. Стоит оговориться, что мы подразумеваем расчетный консонанс. Воспринимаемый консонанс может несколько отличаться, т.к. малая септима для нашего слуха интервал гораздо более привычный.

Где же эта новая нота будет располагаться в ПК? Какую гармонию мы сможем с помощью нее выстроить?

Если вынести за скобки октавную ось (ось кратности 2), то классическое ПК окажется плоским (рис.5).

Пространство кратностей.

Рис.5. Пространство кратностей.

Все ноты расположенные в октаву друг к другу называются одинаково, поэтому такая редукция до известной степени правомерна.

Что же будет при добавлении кратности 7?

Как мы и отмечали выше, новая кратность рождает новую ось в ПК (рис.6).

Пространство кратностей с новой осью.

Рис.6. Пространство кратностей с новой осью.

Пространство становится трехмерным.

Это предоставляет огромное число возможностей.

Например, можно выстраивать аккорды в разных плоскостях (рис.7).

«Мажорные» трезвучия в разных плоскостях.

Рис.7. «Мажорные» трезвучия в разных плоскостях.

В музыкальном произведении можно переходить из одной плоскости в другую, выстраивать неожиданные связи и контрапункты.

Но кроме того есть возможность выходить за пределы плоских фигур и строить трехмерные объекты: с помощью аккордов или с помощью движения в разных направлениях.

Трехмерные объекты в ПК 3-5-7.

Рис.8. Трехмерные объекты в ПК 3-5-7.

Обыгрыш 3D фигур, по-видимому, будет являться базой для гармонической микрохроматики.

Вот какая аналогия напрашивается в этой связи.

В тот момент, когда от «линейного» пифагорейского строя музыка перешла к «плоскому» натуральному, то есть поменяла размерность с 1 на 2, музыка претерпела одну из самых фундаментальных революций. Появились тональности, полноценное многоголосье, функциональность аккордов и неисчислимое множество других выразительных средств. Музыка практически родилась заново.

Сейчас мы стоим перед второй революцией – микрохроматической – когда размерность сменится с 2 на 3.

Как люди средневековья не могли бы предсказать, какой будет «плоская музыка», так и нам сейчас сложно вообразить, какой будет музыка трехмерная.

Поживем – услышим.

Автор — Роман Олейников

Posted in Музыка и математика. Tagged with , .

Поделитесь с друзьями ссылкой на эту страницу:

3 Responses

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *