Пространство кратностей как способ увидеть музыкальную гармонию

Когда мы говорим о мелодии, у нас есть очень хороший помощник – нотный стан.

нотный стан как способ визуализировать мелодическое движение

Посмотрев на эту картинку, даже не знакомый с музыкальной грамотой человек легко определит, когда мелодия идет вверх, когда вниз, когда это движение плавное, а когда скачками. Мы в буквальном смысле видим, какие ноты мелодически ближе друг к другу, а какие дальше.

Но в области гармонии всё, казалось бы, совсем не так: близкие ноты, например, до и ре звучат вместе довольно диссонантно, а более далекие, например, до и ми – гораздо благозвучней. Между совершенно консонантными квартой и квинтой расположен совсем уж диссонантный тритон. Логика гармонии получается какой-то совсем «нелинейной».

А можно ли подобрать такой зрительный образ, взглянув на который, мы легко сможем определить насколько «гармонически» близки друг к другу две ноты?

 «Валентности» звука

Вспомним ещё раз, как устроен звук (рис.1).

Амплитудно частотные характеристики звука

Рис.1. АЧХ звука.

Каждая вертикальная линия на графике – это гармоники звука. Все они кратны основному тону, то есть их частоты в 2, 3, 4 … (и так далее) раз больше чем частота основного тона. Каждая гармоника представляет собой так называемый монохромный звук, то есть звук в котором присутствует одна единственная частота колебаний.

Когда мы играем всего лишь одну ноту, на самом деле мы воспроизводим огромное число монохромных звуков. К примеру, если сыграна нота ля малой октавы, частота основного тона которой равна 220 Гц, в то же самое время звучат монохромные звуки на частотах 440 Гц, 660 Гц, 880 Гц и так далее (примерно 90 звуков в пределах слухового диапазона человека).

Зная такую структуру гармоник, попробуем придумать, как простейшим способом можно связать два звука.

Первый, самый простой, способ – взять два звука, частоты которых отличаются ровно в 2 раза. Посмотрим, как это выглядит с точки зрения гармоник, расположив звуки друг под другом (рис.2).

октава

Рис.2. Октава.

Мы видим, что в таком сочетании у звуков на самом деле совпадает каждая вторая гармоника (совпадающие гармоники обозначены красным). Два звука имеют очень много общего – 50%. Они будут «гармонически» очень близки друг другу.

Сочетание двух звуков, как известно, называется интервалом. Тот интервал, который изображен на рисунке 2, называется октавой.

Стоит отдельно оговорить, что с октавой такой интервал «совпал» не случайно. На самом деле исторически процесс, разумеется, был обратным: сначала услышали, что два таких звука звучат вместе очень слитно и гармонично, зафиксировали способ построения такого интервала, а затем назвали его «октавой». Способ построения первичен, а название вторично.

Следующий способ связи – это взять два звука, частоты которых отличаются в 3 раза (рис.3).

дуодецима

Рис.3. Дуодецима.

Мы видим, что и здесь у двух звуков очень много общего – каждая третья гармоника. Эти два звука тоже будут очень близки, а интервал, соответственно, консонантен. Используя формулу из предыдущей заметки, можно даже посчитать, что мера частотного консонанса такого интервала равна 33,3%.

Интервал этот, кстати, называется дуодецима или квинта через октаву.

И наконец, третий способ связи, который используется в современной музыке, — это взять два звука с отличием чатот в 5 раз (рис. 4).

Терция через две октавы.

Рис.4. Терция через две октавы.

Для такого интервала даже нет собственного названия, его можно назвать разве что терция через две октавы, однако, как видим, и у этого сочетания довольно высокая мера консонанса – совпадает каждая пятая гармоника.

Итак, у нас появились три простейшие связи между нотами – октава, дуодецима и терция через две октавы. Будем называть эти интервалы базовыми. Послушаем, как они звучат.

Аудио 1. Октава

.

Аудио 2. Дуодецима

.

Аудио 3. Терция через октаву

.

Действительно весьма консонантно. В каждом интервале верхний звук на самом деле состоит из гармоник нижнего и не добавляет к его звучанию ни одного нового монохромного звука. Для сравнения послушаем, как звучит одна нота до и четыре ноты: до, октавный звук, дуодецимальный звук, и звук, который выше на терцию через две октавы.

Аудио 4. Звук до

звук до

.

Аудио 5. Аккорд: до-до-соль-ми

звуки до, до, соль и ми

.

Как слышим, разница невелика, просто «усилены» несколько гармоник исходного звука.

Но вернемся к базовым интервалам.

Пространство кратностей

Если мы выберем какую-то ноту (например, до), то ноты, расположенные от нее в одном базовом шаге, будут самыми «гармонически» близкими к ней. Самой близкой окажется октавная, чуть дальше дуодецимальная, а за ними – терцовая через две октавы.

Кроме того по каждому базовому интервалу мы можем сделать несколько шагов. Например, мы можем построить октавный звук, а затем сделать ещё один октавный шаг уже от него. Для этого частоту исходного звука нужно умножить на 2 (получим октавный звук), а затем умножить на 2 ещё раз (получим октавный от октавного). В результате получим звук, который в 4 раза выше исходного. На рисунке это будет выглядеть так (рис.5).

Рис.5. Октава от октавы.

Видно, что при каждом следующем шаге у звуков остается всё меньше и меньше общего. Мы уходим всё дальше и дальше от консонанса.

К слову, здесь же разберем, почему мы в качестве базовых интервалов брали умножение на 2, 3 и 5, а умножение на 4 пропустили. Умножение на 4 не является базовым интервалом, потому что мы можем его получить, используя уже существующие базовые интервалы. В данном случае, умножение на 4 – это два шага по октавам.

С базовыми интервалами ситуация иная: получить их из других базовых интервалов невозможно. Нельзя, перемножая 2 и 3, получить ни само число 5, ни любую его степень. В некотором смысле, базовые интервалы «перпендикулярны» друг другу.

Попробуем это изобразить.

Нарисуем три перпендикулярные оси (рис.6). Будем по каждой из них откладывать число шагов по каждому базовому интервалу: на оси, направленной на нас, — число октавных шагов, на горизонтальной оси – дуодецимальных, на вертикальной – терцовых.

Рис.6. Оси.

Такой график будем называть пространство кратностей.

Рассматривать трехмерное пространство на плоскости довольно неудобно, но мы попробуем.

На оси, которая направлена на нас, мы откладываем октавы. Поскольку все ноты, расположенные в октаву друг к другу, называются одинаково, эта ось будет для нас самой неинтересной. А вот плоскость, которую образуют дуодецимальная (квинтовая) и терцовая оси, мы рассмотрим пристальней (рис.7).

пространство кратностей

Рис.7. Пространство кратностей (ПК).

Здесь ноты обозначены с диезами, можно при необходимости обозначить их как энгармонические (то есть равные по звучанию) с бемолями.

Повторим ещё раз, как эта плоскость строится.

Выбрав любую ноту, в одном шаге справа от нее мы располагаем ноту, которая на дуодециму выше, слева – на дуодециму ниже. Сделав два шага вправо, мы получаем дуодециму от дуодецимы. К примеру, сделав два дуодецимальных шага от ноты до, мы получим ноту ре.

Один шаг по вертикальной оси – это терция через две октавы. Когда мы делаем шаги вверх по оси – это терция через две октавы вверх, когда шаги вниз – этот интервал откладывается вниз.

Шагать можно от любой ноты и в любом направлении.

Посмотрим, как эта схема работает.

Мы выбираем ноту. Делая шаги от ноты, мы получаем ноту всё менее и менее консонантную с исходной. Соответственно, чем дальше в этом пространстве ноты друг от друга, тем менее консонантный интервал они образуют. Ближе всего ноты, соседние по октавной оси (которая как бы направлена на нас), чуть дальше – соседи по дуодецимальной, ещё дальше – по терцовой.

К примеру, чтобы дойти от ноты до до ноты си, нам нужно сделать один дуодецимальный шаг (получим соль),  а затем один терцовый, соответственно получившийся интервал до-си окажется менее консонантным, чем дуодецима или терция.

Если равны «расстояния» в ПК, то и консонансы соответствующих интервалов будут равны. Единственное, нельзя забывать про октавную ось, незримо присутствующую во всех построениях.

Именно эта схема показывает, насколько ноты близки друг к другу «гармонически». Именно на этой схеме имеет смысл рассматривать все гармонические построения.

Про то, как это делать, можно подробно прочитать в книге «Построение музыкальных систем», мы же поговорим об этом в следующий раз.

Автор – Роман Олейников

Posted in Музыка и математика. Tagged with , .

Поделитесь с друзьями ссылкой на эту страницу:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *