В ночь с 23 на 24 сентября в дом только что отпраздновавшего свой 55-летний юбилей Иоганна Франца Энке настойчиво стучали. В дверях стоял запыхавшийся студент Генрих д’Арре. Перекинувшись с пришедшим парой фраз, Энке быстро собрался, и они вдвоем отправились в возглавляемую Энке Берлинскую обсерваторию, где возле телескопа-рефлекора их ждал не менее взволнованный Иоганн Галле.
Наблюдения, к которым таким образом присоединился юбиляр, продлились до половины третьего ночи. Так в 1846 году была открыта восьмая планета Солнечной системы – Нептун.
Но открытие, сделанное этими астрономами, поменяло чуть больше, чем наше представление об окружающем мире.
Теория и практика
Видимый размер Нептуна меньше 3 угловых секунд. Чтобы понять, что это значит, представьте, что вы смотрите на круг из его центра. Разделите окружность на 360 частей (рис. 1).
Угол, который мы получили таким способом, составляет 1° (один градус). Теперь разделите этот тоненький сектор ещё на 60 частей (изобразить это на рисунке уже не представляется возможным). Каждая такая часть будет составлять 1 угловую минуту. И наконец, разделим на 60 и угловую минуту – у нас получится угловая секунда.
Как же астрономы нашли в небе такой микроскопический объект, размером меньше 3 угловых секунд? Дело не в мощности телескопа, а в том, как на огромной небесной сфере выбрать то направление, где искать новую планету.
Разгадка проста: наблюдателям это направление подсказали. Подсказчиком обычно называют французского математика Урбена Леверье, именно он, наблюдая аномалии в поведении Урана, предположил, что за ним есть ещё одна планета, которая, притягивая к себе Уран, заставляет его отклоняться от «правильной» траектории. Леверье не просто сделал такое предположение, но смог рассчитать, где должна находиться эта планета, написал об этом Иоганну Галле, для которого после этого область поисков кардинально сузилась.
Так Нептун стал первой планетой, которая была сначала предсказана теорией, а лишь затем найдена на практике. Такое открытие назвали «открытием на кончике пера», и оно навсегда изменило отношение к научной теории как таковой. Научная теория перестала пониматься, как просто игра ума, в лучшем случае описывающая «то, что есть»; научная теория наглядно продемонстрировала свою предсказательную способность.
Per astra ad musicorum
Вернемся к музыке. В октаве, как известно, 12 нот. Сколько трехзвучных аккордов можно из них построить? Несложно посчитать – таких аккордов будет 220.
Это, конечно, не астрономически огромное число, но и в таком количестве созвучий запутаться довольно легко.
К счастью, у нас есть научная теория гармонии, есть «карта местности» — пространство кратностей (ПК). Как строится ПК, мы рассматривали в одной из предыдущих заметок. Более того, мы увидели, как в ПК получаются привычные тональности – мажор и минор.
Вычленим еще раз те принципы, которые лежат в основе традиционных тональностей.
Вот как выглядят мажор и минор в ПК (рис. 2 и рис. 3).
Центральным элементом таких построений является уголок: либо с лучами направленными вверх – мажорное трезвучие, либо с лучами направленными вниз – минорное трезвучие (рис. 4).
Эти уголки образуют перекрестье, что и позволяет «централизовать» один из звуков, сделать его «главным». Так появляется тоника.
Затем такой уголок копируется симметрично, в самых гармонически близких звуках. Это копирование порождает субдоминанту и доминанту.
Тоника (T), субдоминанта (S) и доминанта (D) называются главными функциями в тональности. Ноты, входящие в эти три уголка, образуют гамму соответствующей тональности.
К слову, кроме главных функций в тональности обычно выделяют побочные аккорды. Мы можем изобразить их в ПК (рис. 5).
Здесь DD – это двойная доминанта, iii – функция третьей ступени, VIb – пониженная шестая и т.д. Мы видим, что они представляют собой такие же мажорные и минорные уголки, расположенные недалеко от тоники.
Тоникой может выступать любая нота, функции будут строиться от нее. Структура – взаиморасположение уголков в ПК – при этом не изменится, просто переместится в другую точку.
Что ж, мы разобрали, как гармонически устроены традиционные тональности. Найдем ли мы, глядя на них, то направление, где стоит искать «новые планеты»?
Думаю, что пару небесных тел мы обнаружим.
Посмотрим на рис. 4. Он показывает, как мы с помощью уголка трезвучия централизовали звук. В одном случае оба луча были направлены вверх, в другом – вниз.
Кажется, мы пропустили ещё два варианта, ничуть не хуже централизующих ноту. Пусть у нас один луч будет направлен вверх, а второй – вниз. Тогда мы получим вот такие уголки (рис. 6).
Эти трезвучия централизуют ноту, но довольно непривычным способом. Если построить их от ноты до, то на нотном стане они будут выглядеть так (рис. 7).
Все дальнейшие принципы построения тональности мы сохраним в неизменности: добавим два аналогичных уголка симметрично в ближайших нотах.
Получим новые тональности (рис. 8).
Запишем для наглядности их гаммы.
Мы изобразили ноты с диезами, но, разумеется, в некоторых случаях удобней будет переписать их с энгармоническими бемолями.
Главные функции этих тональностей показаны на рис. 8, но для полноты картины не хватает побочных аккордов. По аналогии с рис. 5 мы легко их нарисуем в ПК (рис. 10).
Выпишем их и на нотном стане (рис. 11).
Сопоставляя гамму на рис. 9 и названия функций на рис. 11, можно заметить, что привязка к ступеням здесь довольно условна, она «осталась по наследству» от традиционных тональностей. На самом же деле функция третей ступени может строиться вовсе не от третьей ноты в гамме, функция пониженной шестой – вовсе не от пониженной шестой и т.д. Что же в таком случае означают эти названия? Эти названия определяют функциональное значение того или иного трезвучия. То есть функция третьей ступени в новой тональности будет выполнять ту же роль, какую функция третьей ступени выполняла в мажоре или миноре, несмотря на то, что структурно она отличается довольно существенно: и трезвучие используется другое и располагается оно в другом месте гаммы.
Пожалуй, осталось осветить два теоретических вопроса
Первый связан с тональностью II четверти. Мы видим, что централизуя на самом деле ноту соль, ее тонический уголок строится от до (до – нижний звук в аккорде). Также от до начинается гамма этой тональности. Да и в целом тональность, которую мы изобразили, стоит называть тональностью II четверти от до. Это на первый взгляд довольно странно. Однако если мы посмотрим на рис. 3, то обнаружим, что такое же «смещение» нам уже встречалось в самом обычном миноре. В этом смысле ничего экстраординарного в тональности II четверти не происходит.
Второй вопрос: почему такое название – тональности II и IV четвертей?
В математике две оси разбивают плоскость на 4 четверти, которые обычно нумеруют против часовой стрелки (рис. 12).
Мы смотрим, куда направлены лучи соответствующего уголка, и называем тональности по этой четверти. В таком случае, мажор будет являться тональностью I четверти, минор – III четверти, а две новые тональности соответственно – II и IV.
Настроим телескопы
В качестве десерта послушаем небольшой этюд, написанный композитором Иваном Сошинским в тональности IV четверти.
«Etulle» И. Сошинский
Являются ли четыре тональности, которые мы получили, единственно возможными? Строго говоря – нет. Строго говоря, тональные построения вообще не являются обязательными для создания музыкальных систем, мы можем использовать другие принципы, никак не связанные с централизацией или симметрией.
Но рассказ о других вариантах мы пока отложим.
Важным, как мне кажется, является другой аспект. Все теоретические построения обретают смысл, только когда переходят из теории в практику, в культуру. Как темперация закрепилась в музыке только после написания «Хорошо темперированного клавира» И.С. Баха, так и любые другие системы будут иметь значение, когда перейдут с бумаги в партитуры, концертные залы и, в конечном итоге, в музыкальный опыт слушателей.
Что ж, настроим телескопы и будем смотреть, смогут ли композиторы проявить себя в качестве первопроходцев и колонизаторов новых музыкальных миров.
Автор — Роман Олейников
Роман, такой вопрос. Вы приводите аналогии новых тональностей с мажором и минором, при этом используете термины «главные» и «побочные функции». Обычно в классической гармонии главными и побочными называют трезвучия. Именно функций же всего три: тоника, субдоминанта и доминанта. Эти функции выполняются главными трезвучиями, побочные трезвучия собственной функции не имеют и принимают на себя роль T, S или D в зависимости от звукового состава и гармонического окружения. Кроме того, трезвучия III и VI ступени считаются бифункциональными — TDIII, TSVI, промежуточными между T и D, T и S. Возможны ли подобные бифункциональные образования в описанных вами новых тональностях?
Здравствуйте, Алексей. Спасибо за замечание, терминологически Вы абсолютно правы, попробуем исправить в статье. У Холопова встречается термин побочные функции, но относится к несколько другим аккордам, поэтому эти аккорды лучше называть именно побочными аккордами, а не функциями.
Очень глубокий вопрос Вы задаете. С аккордами III и VI ступеней вообще всё очень интересно. Например, аккорда III ступени находится «между» T, D, выполняет медиантовую TD функцию. Такая функциональность обеспечивается тем, что у него 2 общих звука и с тоникой и с доминантой. Это можно заметить и на нотном стане, но, что любопытно, в ПК это даже очевидней, в нем трезвучие III физически находится между T и D (рис.5). По большому счету никакое другое классическое трезвучие эту функцию и не сможет на себя взять.
Когда мы переходим к тональностям II и IV четвертей, мы сохраняем то же построение, у нас III ступень снова находится между T и D (рис. 10). Именно в этом смысле этот аккорд будет выполнять ту же функцию, которую в классике несло привычное трезвучие от III ступени. Т.е. и аккорд по структуре там будет другой, и находиться будет не на III ступени гаммы, а функция его останется «классической». И такая же ситуация с другими аккордами в тональностях — их функциональность сохраняется, хотя система на первый взгляд (и слух) кажется совсем не классической.
Вот так бы я интерпретировал эту структуру. Я попрошу Ивана Сошинского, может быть, он дополнит мой ответ, всё же он с этими тональностями работал на практике, а не только в теории. Если у него будет время, надеюсь, он расскажет о тонкостях и нюансах.
А почему всех трезвучий-уголков тональностей II и IV четверти 13, а для классического мажора(и минора?) только 11? Это из чего-то следует?
Вот моя гипотеза: причина в том, что бы «захватить» ближайшими «уголками» все звуки муз.строя. Это верно для тон. II, IV, но неверно для мажора, — остаются ноты b и cis. Первую можно получить мелодическим мажором, а вторую как? Разве паралельной к одноимённой.