Когда мы говорим о мелодии, у нас есть очень хороший помощник – нотный стан.
Посмотрев на эту картинку, даже не знакомый с музыкальной грамотой человек легко определит, когда мелодия идет вверх, когда вниз, когда это движение плавное, а когда скачками. Мы в буквальном смысле видим, какие ноты мелодически ближе друг к другу, а какие дальше.
Но в области гармонии всё, казалось бы, совсем не так: близкие ноты, например, до и ре звучат вместе довольно диссонантно, а более далекие, например, до и ми – гораздо благозвучней. Между совершенно консонантными квартой и квинтой расположен совсем уж диссонантный тритон. Логика гармонии получается какой-то совсем «нелинейной».
А можно ли подобрать такой зрительный образ, взглянув на который, мы легко сможем определить насколько «гармонически» близки друг к другу две ноты?
«Валентности» звука
Вспомним ещё раз, как устроен звук (рис.1).
Каждая вертикальная линия на графике – это гармоники звука. Все они кратны основному тону, то есть их частоты в 2, 3, 4 … (и так далее) раз больше чем частота основного тона. Каждая гармоника представляет собой так называемый монохромный звук, то есть звук в котором присутствует одна единственная частота колебаний.
Когда мы играем всего лишь одну ноту, на самом деле мы воспроизводим огромное число монохромных звуков. К примеру, если сыграна нота ля малой октавы, частота основного тона которой равна 220 Гц, в то же самое время звучат монохромные звуки на частотах 440 Гц, 660 Гц, 880 Гц и так далее (примерно 90 звуков в пределах слухового диапазона человека).
Зная такую структуру гармоник, попробуем придумать, как простейшим способом можно связать два звука.
Первый, самый простой, способ – взять два звука, частоты которых отличаются ровно в 2 раза. Посмотрим, как это выглядит с точки зрения гармоник, расположив звуки друг под другом (рис.2).
Мы видим, что в таком сочетании у звуков на самом деле совпадает каждая вторая гармоника (совпадающие гармоники обозначены красным). Два звука имеют очень много общего – 50%. Они будут «гармонически» очень близки друг другу.
Сочетание двух звуков, как известно, называется интервалом. Тот интервал, который изображен на рисунке 2, называется октавой.
Стоит отдельно оговорить, что с октавой такой интервал «совпал» не случайно. На самом деле исторически процесс, разумеется, был обратным: сначала услышали, что два таких звука звучат вместе очень слитно и гармонично, зафиксировали способ построения такого интервала, а затем назвали его «октавой». Способ построения первичен, а название вторично.
Следующий способ связи – это взять два звука, частоты которых отличаются в 3 раза (рис.3).
Мы видим, что и здесь у двух звуков очень много общего – каждая третья гармоника. Эти два звука тоже будут очень близки, а интервал, соответственно, консонантен. Используя формулу из предыдущей заметки, можно даже посчитать, что мера частотного консонанса такого интервала равна 33,3%.
Интервал этот, кстати, называется дуодецима или квинта через октаву.
И наконец, третий способ связи, который используется в современной музыке, — это взять два звука с отличием чатот в 5 раз (рис. 4).
Для такого интервала даже нет собственного названия, его можно назвать разве что терция через две октавы, однако, как видим, и у этого сочетания довольно высокая мера консонанса – совпадает каждая пятая гармоника.
Итак, у нас появились три простейшие связи между нотами – октава, дуодецима и терция через две октавы. Будем называть эти интервалы базовыми. Послушаем, как они звучат.
Аудио 1. Октава
.
Аудио 2. Дуодецима
.
Аудио 3. Терция через октаву
.
Действительно весьма консонантно. В каждом интервале верхний звук на самом деле состоит из гармоник нижнего и не добавляет к его звучанию ни одного нового монохромного звука. Для сравнения послушаем, как звучит одна нота до и четыре ноты: до, октавный звук, дуодецимальный звук, и звук, который выше на терцию через две октавы.
Аудио 4. Звук до
.
Аудио 5. Аккорд: до-до-соль-ми
.
Как слышим, разница невелика, просто «усилены» несколько гармоник исходного звука.
Но вернемся к базовым интервалам.
Пространство кратностей
Если мы выберем какую-то ноту (например, до), то ноты, расположенные от нее в одном базовом шаге, будут самыми «гармонически» близкими к ней. Самой близкой окажется октавная, чуть дальше дуодецимальная, а за ними – терцовая через две октавы.
Кроме того по каждому базовому интервалу мы можем сделать несколько шагов. Например, мы можем построить октавный звук, а затем сделать ещё один октавный шаг уже от него. Для этого частоту исходного звука нужно умножить на 2 (получим октавный звук), а затем умножить на 2 ещё раз (получим октавный от октавного). В результате получим звук, который в 4 раза выше исходного. На рисунке это будет выглядеть так (рис.5).
Видно, что при каждом следующем шаге у звуков остается всё меньше и меньше общего. Мы уходим всё дальше и дальше от консонанса.
К слову, здесь же разберем, почему мы в качестве базовых интервалов брали умножение на 2, 3 и 5, а умножение на 4 пропустили. Умножение на 4 не является базовым интервалом, потому что мы можем его получить, используя уже существующие базовые интервалы. В данном случае, умножение на 4 – это два шага по октавам.
С базовыми интервалами ситуация иная: получить их из других базовых интервалов невозможно. Нельзя, перемножая 2 и 3, получить ни само число 5, ни любую его степень. В некотором смысле, базовые интервалы «перпендикулярны» друг другу.
Попробуем это изобразить.
Нарисуем три перпендикулярные оси (рис.6). Будем по каждой из них откладывать число шагов по каждому базовому интервалу: на оси, направленной на нас, — число октавных шагов, на горизонтальной оси – дуодецимальных, на вертикальной – терцовых.
Такой график будем называть пространство кратностей.
Рассматривать трехмерное пространство на плоскости довольно неудобно, но мы попробуем.
На оси, которая направлена на нас, мы откладываем октавы. Поскольку все ноты, расположенные в октаву друг к другу, называются одинаково, эта ось будет для нас самой неинтересной. А вот плоскость, которую образуют дуодецимальная (квинтовая) и терцовая оси, мы рассмотрим пристальней (рис.7).
Здесь ноты обозначены с диезами, можно при необходимости обозначить их как энгармонические (то есть равные по звучанию) с бемолями.
Повторим ещё раз, как эта плоскость строится.
Выбрав любую ноту, в одном шаге справа от нее мы располагаем ноту, которая на дуодециму выше, слева – на дуодециму ниже. Сделав два шага вправо, мы получаем дуодециму от дуодецимы. К примеру, сделав два дуодецимальных шага от ноты до, мы получим ноту ре.
Один шаг по вертикальной оси – это терция через две октавы. Когда мы делаем шаги вверх по оси – это терция через две октавы вверх, когда шаги вниз – этот интервал откладывается вниз.
Шагать можно от любой ноты и в любом направлении.
Посмотрим, как эта схема работает.
Мы выбираем ноту. Делая шаги от ноты, мы получаем ноту всё менее и менее консонантную с исходной. Соответственно, чем дальше в этом пространстве ноты друг от друга, тем менее консонантный интервал они образуют. Ближе всего ноты, соседние по октавной оси (которая как бы направлена на нас), чуть дальше – соседи по дуодецимальной, ещё дальше – по терцовой.
К примеру, чтобы дойти от ноты до до ноты си, нам нужно сделать один дуодецимальный шаг (получим соль), а затем один терцовый, соответственно получившийся интервал до-си окажется менее консонантным, чем дуодецима или терция.
Если равны «расстояния» в ПК, то и консонансы соответствующих интервалов будут равны. Единственное, нельзя забывать про октавную ось, незримо присутствующую во всех построениях.
Именно эта схема показывает, насколько ноты близки друг к другу «гармонически». Именно на этой схеме имеет смысл рассматривать все гармонические построения.
Про то, как это делать, можно подробно прочитать в книге «Построение музыкальных систем», мы же поговорим об этом в следующий раз.
Автор – Роман Олейников